KEDUDUKAN TITIK DAN GARIS TERHADAP LINGKARAN
Hubungan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran- Sebelumnya kita telah belajar mengenai persamaan lingkaran,
kali ini rumushitung ingin share lanjutan materi tentang lingkaran yaitu
hubungan titik dan garis terhadap lingkaran. Hubungan titik dengan lingkaran
ada tiga jenis yaitu berada di dalam lingkaran, tepat pada lingkaran, dan
berada di luar lingkaran. Hubungan ini sejalan dengan hubungan garis dengan lingkaran.
Hubungan Titik dengan Lingkaran
1. Hubungan Titik dengan Lingkaran dengan Pusat (0,0)
Jika
sobat punya sebuah titik dengan nama P (x1,y1)
maka kemungkinan posisinya terhadap lingkaran
x2 + y2
= r2 maka
Hub.
titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran
|
Berlaku
Jika
|
Di dalam lingkaran
|
x12+y12 < r2
|
Terletak di Lingkaran
|
x12+y12 < r2
|
Di Luar Lingkaran
|
x12+y12 < r2
|
Berikut
contoh soalnya
Coba tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 =41
Coba tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 =41
- titik A (3,4)
- titik B (4,5)
- titik C (5,6)
Jawaban
caranya adalah dengan memasukkan nilai x dan y dari titik-titik di atas ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 kemudian sobat bandingkan hasilnya dengan nili r2
caranya adalah dengan memasukkan nilai x dan y dari titik-titik di atas ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 kemudian sobat bandingkan hasilnya dengan nili r2
Titik A (3,4) –> 32+42
= 9+16 = 25 –> 25 < 41 —> di dalam lingkaran
Titik B (4,5) –> 42+52 = 16+15 = 41 –> 41= 41 —> terletak di lingkaran lingkaran
Titik A (5,6) –> 52+62 = 25+36 = 61 –> 61 > 42 —> di luar lingkaran
Titik B (4,5) –> 42+52 = 16+15 = 41 –> 41= 41 —> terletak di lingkaran lingkaran
Titik A (5,6) –> 52+62 = 25+36 = 61 –> 61 > 42 —> di luar lingkaran
2. Hubungan Titik dengan Lingkaran dengan Pusat (a,b) [bukan
berpusat di (0,0)]
Misal
ada sebuah titik P P (x1,y1) maka
kemungkinan posisinya terhadap lingkaran dengan persamaan (x-a)2
+ (y-b)2 = r2 maka hubungan antara
garis dengan lingkaran tersebut bisa
Hub.
titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran
dengan pusat (a,b) |
Berlaku
Jika
|
Di dalam lingkaran
|
(x-a)2 + (y-b)2
= r2
|
Terletak di Lingkaran
|
(x-a)2 + (y-b)2
= r2
|
Di Luar Lingkaran
|
(x-a)2 + (y-b)2
= r2
|
Contoh
soal
Tentukan berada di dalam, tepat, atau di luar lingkaran x2+y2-4x+6y = 0 titik-titik berikut: titik M (1,3), titik N (2,7)
Tentukan berada di dalam, tepat, atau di luar lingkaran x2+y2-4x+6y = 0 titik-titik berikut: titik M (1,3), titik N (2,7)
Jawaban Pembahasan
Sama, caranya sangat mudah, sobat tinggal memasukkan nilai x dan y dari titik-titik yang ditanyakan posisinya ke dalam persamaan lingkaran dan membandingkannya dengan nilai r2
Sama, caranya sangat mudah, sobat tinggal memasukkan nilai x dan y dari titik-titik yang ditanyakan posisinya ke dalam persamaan lingkaran dan membandingkannya dengan nilai r2
titik M (1,3) –> 12+32-4(1)+6.3
=1+9-4+18 = 24 –> 24 > 0 [di luar lingkaran] titik N (2,7) –> 22+72-4(2)+6.7
= 4+49-8+42 = 97 –> 97>0 [di luar lingkaran]
Hubungan Garis Lurus dengan Lingkaran
Untuk
menentukan hubungan sebuah garis lurus y = mx + n dengan lingkaran cara
paling mudah adalah mensubtitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan
lingkaran hingga menjadi persamaan dengan hanya ada satu variable (x)
(persamaan
kuadrat) kemudian kita tentukan nilai D (determinan) dari
persamaan hasil subtitusi tersebut.
Gambar
|
Nilai
D
|
Hubungan
|
D > 0
|
garis berada di dalam lingkaran,
memotong lingkaran di dua titik, dan jarak pusat lingkaran ke garis <
jari-jari lingkaran
|
|
D = 0
|
garis menyinggung lingkaran (1
titik) dan jarak pusat lingkaran ke garis = jari-jari lingkaran
|
|
D < 0
|
garis berada di luar lingkaran,
tidak memotong lingkaran, jariak titik pusat lingkaran ke garis >
jari-jari lingkaran
|
Contoh
Soal
Sebuah garis lurus punya persamaan y = x+1, tentukan posisi garis tersebut terhadap lingkaran x2+y2 = 25!
Sebuah garis lurus punya persamaan y = x+1, tentukan posisi garis tersebut terhadap lingkaran x2+y2 = 25!
Jawab
:: substitusikan y = x+1
ke x2+y2 = 25
x2+y2
= 25
x2+(x+1)2 = 25
x2+x2+2x+1 = 25
2x2+2x-24 = 0
x2+x-12 = 0 [bentuk sederhana]
x2+(x+1)2 = 25
x2+x2+2x+1 = 25
2x2+2x-24 = 0
x2+x-12 = 0 [bentuk sederhana]
:: Tentukan Nilai Determinan (D)
D = b2-4ac
D = 1-4.1(-12) = 1 + 48 = 49 –> D > 0, maka memotong lingkaran di dua titik. Pertanyaannya jika hubungan garis terhadap lingkaran adalah memotongnya di dua titik, dimana saja titik potong garis dengan lingkaran tersebut?
D = 1-4.1(-12) = 1 + 48 = 49 –> D > 0, maka memotong lingkaran di dua titik. Pertanyaannya jika hubungan garis terhadap lingkaran adalah memotongnya di dua titik, dimana saja titik potong garis dengan lingkaran tersebut?
x2+x-12
= 0
(x+4) (x-3) = 0
x+4 = 0 atau x-3 = 0
x = -4 atau x = 3 –> masukkan ke persamaan garis atau lingkaran (silahkan pilih)
x = -4 –> y = x+1 –> y = -4+1 = -3 maka titiknya (-4,-3)
x = 3 –> y = x+1 –> y = 3+1 = 4 maka titiknya (3,4)
D = 122+320 =442 –> D > 0 maka garis tersebut memotong lingkarn di dua titik
(x+4) (x-3) = 0
x+4 = 0 atau x-3 = 0
x = -4 atau x = 3 –> masukkan ke persamaan garis atau lingkaran (silahkan pilih)
x = -4 –> y = x+1 –> y = -4+1 = -3 maka titiknya (-4,-3)
x = 3 –> y = x+1 –> y = 3+1 = 4 maka titiknya (3,4)
D = 122+320 =442 –> D > 0 maka garis tersebut memotong lingkarn di dua titik